Czy rysunki Leonarda da Vinci, akustyka pomieszczeń i radioastronomia mają ze sobą coś wspólnego? / Andrzej Kulowski 

0
430

Sferyczny radioteleskop w Arecibo,  Obserwatorium Arecibo, Portoryko. Z Wikimedia Commons, repozytorium wolnych multimediów.

Abstrakt 

Po przedstawieniu poprzedników Leonarda da Vinci (LdV) w dziedzinie badań propagacji  światła, dokonano analizy jego rysunków na temat odbijania światła przez zwierciadło sferyczne. Przedstawiono odkrycie LdV, zgodnie z którym przy nieskończenie odległym źródle  promieni wystarczy użyć mały fragment czaszy, aby wygenerować ognisko, podczas gdy  reszta zwierciadła tworzy kaustykę, dla której LdV nie wskazał zastosowania. Podano analityczny opis koncentracji energii w ognisku i na kaustyce wraz z odniesieniem do geometrycznej reprezentacji pola akustycznego w pomieszczeniach. Opierając się na ogólnych zasadach  ruchu falowego, przedstawiono symetrię w opisie relacji energetycznych w akustyce i elektromagnetyzmie. Wyjaśniono, dlaczego w polu dźwiękowym w istniejących salach zamiast  całej kaustyki obserwuje się tylko jej ostrze, które jest odbierane słuchem jako punktowe skupienie dźwięku. Określono wielkość apertury zwierciadła, pokazaną graficznie przez LdV. Pokazano również, w jaki sposób rozwój technik odbiorczych zwiększył aperturę zwierciadła  w porównaniu z oszacowaniem LdV. Wdrożenie tych ulepszeń przedstawiono na przykładzie  radioteleskopów Arecibo i FAST.

s40494-022-00713-6

Wstęp 

Wczesne rozważania na temat propagacji światła leżą u początków dyscypliny badawczej,  która rozwinęła się w dzisiejszą fizykę. Jedną z najwcześniejszych relacji na temat optyki,  czyli użycia instrumentów zakłócających bieg światła, jest opowieść z czasów starożytnych o  podpaleniu przez Archimedesa rzymskich statków oblegających Syrakuzy za pomocą luster  odbijających światło słoneczne [1]. Kolejnym znaczącym dziełem okresu starożytności, dotyczącym badań optyki, jest późniejszy traktat Ptolemeusza z II w. n.e. [2]. Zapoczątkowane  przez niego rozważania naukowe były kontynuowane w średniowieczu w świecie islamskim.  Leonardo da Vinci (LdV) realizował swoje prace w nawiązaniu do tej tradycji [3]. Szczególną  uwagę poświęcił zastosowaniu zasad optyki geometrycznej w architekturze, malarstwie i grafice, w tym studiach z zakresu perspektywy i światłocienia. 
Szkice Leonarda dotyczące optyki zawierają badania nad szczególną formą skupiania pro mieni świetlnych, zwaną obecnie kaustyką (rys. 1) W konwencji optyki geometrycznej kaustyka to powierzchnia utworzona przez styczne do niej promienie po odbiciu od powierzchni  wklęsłej lub w wyniku propagacji w ośrodku niejednorodnym. W pewnych okolicznościach  na ługach może tworzyć się guzek. W matematycznym opisie kaustyki występuje wówczas  osobliwość, tj. parametry pola promieni w tym punkcie zmierzają do nieskończoności. Fizycznym odpowiednikiem ostrza kaustyki jest ognisko zwierciadła. Ognisko może się także  uformować bez towarzyszącej mu kaustyki, lecz dotyczy to tylko kilku konkretnych przypadków, między innymi źródła w środku zwierciadła sferycznego, zwierciadła parabolicznego ze  źródłem na osi geometrycznej lub zwierciadła elipsoidalnego ze źródłem w jednym z ognisk.
Ryc. 1
rysunek 1
Rys. 1. a) Rysunek kaustyki pochodzący z notatek Leonardo Da Vinci. Notatka pod rysunkiem sporządzona słynnym odwróconym pismem Leonarda, mówi, że w zwierciadłach wklęsłych o jednakowej średnicy to, które ma płytszą krzywiznę, skupi największą liczbę odbitych  promieni w ognisku i „w konsekwencji roznieci ogień z większą szybkością i siłą” [9] © British Library Board, źródło: Arundel MS 263. b) Szczegóły rysunku Leonarda, c), d) Widoki  3D kaustyki utworzone przez zwierciadło sferyczne i cylindryczne [10]. 
Leonardo wykazał, że przy nieskończenie odległym źródle światła tylko niewielka część  zwierciadła sferycznego bierze udział w tworzeniu ogniska Pozostała część zwierciadła formuje jedynie kaustykę i jest bezużyteczna przy tworzeniu ogniska, co prowadzi do ważnych  wniosków praktycznych. Idea skupiania światła w taki sposób jest przypisywana Archimede sowi żyjącemu wiele wieków wcześniej, lecz analiza ilościowa pokazana w formie graficznej  na rys. 2 jest osobistym wkładem Leonardo w badania nad zasadą działania zwierciadła wklęsłego.
Ryc. 2
Rysunek 2
Rys. 2. Ilustracja koncepcji Leonarda, w której płytsze zwierciadło (na dole) skupia większą  liczbę promieni niż zwierciadło z głębszą czaszą o tej samej średnicy (na górze) [9]. © British  Library Board, źródło: Arundel MS 263.
Na tym tle historycznym w artykule omówiono powstawanie ognisk i kaustyk w polu akustycznym i elektromagnetycznym. Obserwacje dotyczące akustyki pomieszczeń wskazują, że  w słyszalnym zakresie częstotliwości kaustyka jest tak rozmyta przez dźwięk rozproszony,  odbicia fal i interferencję, że zostaje zredukowana do osobliwości. Obserwowana postać kaustyki jest wówczas zwartym obszarem podwyższonego ciśnienia akustycznego o wielkości  zależnej od długości fali, co jest wynikiem dyfrakcyjnego poszerzenia ogniska punktowego  znanego z analizy graficznej. Dzieje się tak, gdy długość fali jest tego samego rzędu lub nieco  krótsza niż długość fali obiektów w polu akustycznym, co jest typowe dla pomieszczeń. 
Kiedy długość fali jest znacznie krótsza niż obiekty w polu falowym, efekt rozmycia jest  znacznie mniejszy, a kaustyka występuje jako wyraźnie zidentyfikowany obszar skupienia  energii. Powstałe w ten sposób kaustyki są obecne w wielu dziedzinach techniki i nauki związanych z rozchodzeniem się światła, ultradźwięków i fal elektromagnetycznych, np. hydro akustyka, aeroakustyka, technika laserowa, a nawet radioastronomia [4, 5, 6]
Opierając się na inspiracji rysunkami kaustyk w pracach LdV i jego rozważaniach na temat  odbijania światła przez zwierciadło wklęsłe, artykuł przedstawia matematyczny opis efektu  skupiania promieni. Na tym tle przedstawiono zjawiska zachodzące na kaustyce w polu akustycznym i elektromagnetycznym, uwzględniając ich falowy charakter. 
Myślą przewodnią artykułu jest prześledzenie, w jakim stopniu spostrzeżenia LdV dotyczące  formowania się kaustyki i ogniska w zwierciadle są obecne we współczesnej technice. Pokazano, jak oszacowanie apertury zwierciadła dokonane przez LdV podlega poszerzeniu wraz z  rozwojem technik odbiorczych. Obecność myśli Leonardo w tych działaniach jest przedstawiona na przykładzie wielkich radioteleskopów w Arecibo (USA) i w Dawodang (Chiny). 
Kaustyka w spuściźnie Leonarda da Vinci 
Rysunki kaustyk w notatkach Leonarda da Vinci nawiązują do jego badań w dziedzinie optyki  w latach 1510–1515 [7, 8]. Można w nich znaleźć wiele szkiców kaustyk na różnych etapach  ich powstawania, z których najbardziej kompletny rysunek kaustyki przedstawia rys.1. Leonardo wykonał swój rysunek 500 lat temu z taką kompetencją, że w artykule jest on cytowany jako w pełni prawidłowy przykład zastosowania zasad optyki geometrycznej w powstawaniu kaustyki. 
Leonardo interesował się użytecznością zwierciadeł wklęsłych jako źródeł ciepła, a celem  jego badań była ocena właściwości skupiających zwierciadła sferycznego. Rys. 2 pokazuje  dwa zwierciadła różniące się głębokością czaszy, o której mowa w jego notatce z rys. 1a. W swoich późniejszych pracach Leonardo planował również wykorzystanie efektu skupienia  światła słonecznego do ogrzania, a nawet zagotowania wody [11]. 
W świetle dzisiejszego poziomu wiedzy koncepcja Leonarda jest oczywista. Żył jednak 500  lat temu i trafność jego wyjaśnień należy uznać za godną podziwu. Dalsza część artykułu pokazuje, że nawet w tak odległych od optyki dziedzinach, jak akustyka pomieszczeń czy radioastronomia, można odnaleźć obecność myśli Leonarda da Vinci. 
Zgodnie ze współczesną terminologią techniczną część całkowitej energii padającej na zwierciadło dostępna dla odbiornika nosi nazwę apertury zwierciadła. Na potrzeby niniejszego artykułu jako względną miarę apertury przyjęto stosunek tego pola do pola pełnego zwierciadła półkulistego. Zakładając, że propagacja i odbicie promieni są bezstratne, względna apertura  dolnego zwierciadła pokazanego na rys. 2 wynosi około 0,4% (równania 1, 2). 
Dla kąta rozwarcia φ = 10 (rys. 3) długość łuku r wynosi 

zaś apertura w stosunku do powierzchni pełnego zwierciadła półkulistego wynosi

Ryc. 3
rysunek 3

 

Rys. 3. Apertura płytszego zwierciadła z rys. 2. SmR: pole i promień pełnego zwierciadła
półkulistego, Sa, r: pole i promień apertury, φ: kąt rozwarcia odczytany z rys. 2, φ= 10o

Analityczny opis koncentracji energii na kaustyce

Szkice LdV przedstawiają w formie graficznej zjawisko koncentracji energii na kaustyce.  Poniżej podana jest ocena tego efektu w formie analitycznej, przy użyciu oryginalnego rysunku LdV. 
Rozważmy promienie pochodzące z nieskończenie odległego źródła i padające na zwierciadło  półkuliste jako wiązkę promieni biegnących po równoległych torach (rys. 1a). Po odbiciu tory  promieni układają się wzdłuż krzywej opisanej równaniem.(3) [12].
Aby obliczyć gęstość promieni na kaustyce rozpatrzmy dwa pierścienie wewnątrz czaszy  zwierciadła: dS na jego powierzchni i dSc na kaustyce (Rys.4) [12, 13]. Ponieważ wszystkie  promienie odbite od dS są styczne do, względna gęstość promieni na dSc wynosi dS/dSc,  gdzie dS i dSc to powierzchnie pierścieni.
Ryc. 4
rysunek 4

Rys. 4. Kaustyka utworzona przez promienie padające na półkulisty reflektor. R: promień reflektora, dS, dSc: pierścień na reflektorze i kaustyce, x(θ), y(θ): współrzędne kartezjańskie kaustyki (równanie (3), dlc: element przekroju kaustyki [13].

Obwód i szerokość pierścienia dS wynoszą 2ΠRcos(θ) i Rsin(θ)d θ, więc

Obwód i szerokość pierścienia dSc wynoszą 2Πx(θ) i dlc, więc

Podstawienie równania ( 7 ) do Równ. ( 8 ) daje

Ostatecznie, jeśli promienie padające na zwierciadło są rozłożone równomiernie na płaszczyźnie y=0 (rys. 4), względna gęstość promieni C(θ) na kaustyce wynosi

Przy θ zmierzającym do 0,5Π C(θ) zmierza do nieskończoności, co odpowiada formowaniu  się ostrza na kaustyce (Fig. 4). Osobliwość ta wynika ze zmierzania do zera pola powierzchni  przekroju poprzecznego kaustyki dSc
Oznaczmy gęstość powierzchniową promieni padających na zwierciadło jako Io  [W/m2]. Gęstość promieni C(θ) w równaniu (11) pomnożoną przez Io można zinterpretować jako powierzchniową gęstość energii na kaustyce w jednostce czasu, czyli natężenie promieni  [W/m2]. 
Równanie (11) pokazuje powierzchniową gęstość mocy na powierzchni kaustyki. Jest to wartość skończona, z wyjątkiem wierzchołka kaustyki, gdzie C (θ) dąży do nieskończoności. Gdy  jednak rozważymy gęstość energii w płaszczyźnie przekroju kaustyki, otrzymamy inny wynik. Na przykład, podążając linią przerywaną od punktu M do początku układu współrzędnych XY (rys. 6), powierzchniowa gęstość mocy wzrasta i osiąga nieskończoność na kaustyce. W tym przypadku osobliwość dotyczy całej kaustyki [6]. W niniejszym artykule analiza powierzchniowej gęstości mocy nie dotyczy przekroju kaustyki, ale jego powierzchni. 

Gdy weźmie się pod uwagę współczynnik pochłaniania α zwierciadła, gdzie α = 0 i α = 1 odnoszą się odpowiednio do całkowitego odbicia i całkowitego pochłaniania, względne natężenie promieni wynosi 

Na całkowite natężenie energii promieni kaustyce Ic,res θ) składa się energia promieni padają cych Io oraz energia promieni odbitych od kaustyki
Ryc. 5
rysunek 5

Poziom natężenia promieni Lc,res(θ) [dB] na kaustyce. α: współczynnik pochłaniania zwierciadła [12].

Kaustyka w polu falowym

Konstrukcja kaustyki pokazana przez LdV opiera się na podejściu geometrycznym. Jest ono nadal w pełni funkcjonalnym modelem propagacji energii, stosowanym obecnie np. w akustyce pomieszczeń, optyce czy komunikacji radiowej. W tym rozdziale opisano powstawanie kaustyki w polu falowym, której przejawem jest interferencja padającej fali z falą odbitą od zwierciadła.
Rozważmy falę płaską o długości fali λ znacznie mniejszej od średnicy zwierciadła D. Padając na zwierciadło, w chwili t=0 czoło fali leży w płaszczyźnie y=0 (rys. 6, [12]). Rozchodząc się w głąb reflektora, fala interferuje z falą odbitą, tworząc szereg prążków interferencyjnych wypełniających czaszę lustra i przestrzeń przed nim.
Ryc. 6
rysunek 6
Rys. 6. Kierunki fali padającej KN i odbitej i LMN nakładających się na kaustyce. Wynik jest  sumą ciśnień akustycznych. R: promień reflektora [12]. 
Zgodnie z prawem odbicia, odbita fala jest styczna do kaustyki. Odległości SKN i SLMN prze byte przez falę padającą i odbitą wynoszą
Pomimo różnej natury fal akustycznych i elektromagnetycznych, ogólne zasady ruchu falo wego opisują ich zależności energetyczne za pomocą tych samych równań, różniących się  jedynie fizyczną interpretacją poszczególnych składowych. Istotna różnica dotyczy superpo zycji fal, która ma charakter skalarny lub wektorowy odpowiednio dla fal akustycznych lub  elektromagnetycznych. W celu ułatwienia porównania równań energetycznych dla obu typów  pól przedstawiono je obok siebie. 
Natężenie dźwięku Is i powierzchniowa gęstość mocy pola elektromagnetycznego Ie, oba w  [W/m2], są proporcjonalne odpowiednio do kwadratu ciśnienia akustycznego p2[Pascal] i  kwadratu amplitudy pola elektrycznego E [V/m]

Amplituda pc ( θ ) i Ec ( θ ) odpowiednio ciśnienia akustycznego i pola elektrycznego na kaustyce wynosi

gdzie Ic,s(θ): natężenie dźwięku na kaustyce, [W/m2],
Ic,em(θ): gęstość mocy powierzchniowej pola elektromagnetycznego na kaustyce, [W/m2], \
Io: natężenie dźwięku padającego, [W/m2],
Iem: gęstość mocy powierzchniowej fali padającej pola elektromagnetycznego [W/m2].
α: współczynnik pochłaniania dźwięku,
R: współczynnik odbicia składowej elektrycznej fali elektromagnetycznej..

Iabs, Ii: natężenie pochłoniętej i padającej fali akustycznej,
Pi, Pabs: ciśnienie akustyczne pochłoniętej i padającej fali akustycznej,
Ei,  Erefl: amplituda padającej i odbitej składowej elektrycznej. Dla uproszczenia, w dalszej części artykułu przyjęto całkowite odbicie fali elektromagnetycznej, tj. R =1.

W chwili czasu t ciśnienie akustyczne p(t) i amplituda pola elektrycznego E(t) odpowiednio

  Dalsza część tego punktu dotyczy zjawisk zachodzących w polu akustycznym. : natężenie pochłoniętej i padającej fali akustycznej,
: ciśnienie akustyczne pochłoniętej i padającej fali akustycznej,
: amplituda padającej i odbitej składowej elektrycznej. Dla uproszczenia, w dalszej
części artykułu przyjęto całkowite odbicie fali elektromagnetycznej, tj. R =1.

W chwili czasu t ciśnienie akustyczne p(t) i amplituda pola elektrycznego E(t) odpowiednio  padającej fali akustycznej i elektromagnetycznej w płaszczyźnie y = 0 reflektora wynoszą

Zakładając bezstratną propagację fali, po przebyciu przez falę akustyczną odległości SKN ciśnienie akustyczne fali padającej pi(t) wynosi

zaś po przebyciu odległości SLMN ciśnienie akustyczne prefl(t) fali odbitej i skondensowanej na  kaustyce zgodnie z równaniem.(19), wynosi

Dalsza część tego punktu dotyczy zjawisk zachodzących w polu akustycznym.

Różnica dróg frontu bezpośredniego i odbitego fal akustycznych powoduje, że pres ( t, θ ) zmienia się w czasie. Fluktuacje są opisane równaniem (30), który otrzymuje się przez podstawie-nie równań (15), (16) do (26), (28) a następnie do (29).

Fluktuacje mają postać modulacji amplitudy, której maksymalny zakres wynika z równania
(31).

Dla danego θ, równanie (30) opisuje fluktuacje w danym punkcie kaustyki. Rozwiązywanie  równania (31), czyli znalezienie funkcji t(θ), wyznacza amplitudę fluktuacji na całej kaustyce.  Rozwiązanie równania (31) podano w równaniu (32). Wyprowadzenie równania – patrz Załącznik, równ. (49).
Rozwiązanie równania (31) podano w równaniu (32). Wyprowadzenie równania – patrz Za-
łącznik, równ. (49).

Studium przypadku

Mechanizm powstawania kaustyki pokazany przez LdV na rys. 1a, w tym rozdziale jest zilustrowany rzeczywistymi obiektami. Przedstawione przykłady dotyczą formowania się kaustyki w polu akustycznym w pomieszczeniach oraz w plenerowych instalacjach akustycznych o funkcji demonstracyjnej. Pokazano również, jak w dziedzinie detekcji fal radiowych przy użyciu anten reflektorowych rozwój techniki odbiorczej poszerzył aperturę zwierciadła oszacowaną przez LdV. W przedstawionych przykładach aperturę odniesiono do powierzchni półsfery, co pozwala ją porównać z oszacowaniem LdV.

Kaustyka w polu dźwiękowym

Rys. 7 a, b przedstawia wykres równań (30) i (34) dla fal akustycznych o częstotliwości f =
1000 Hz i f = 2000 Hz, rozchodzących się w powietrzu i odbitych od półkulistego reflektora o średnicy D = 2 m. W obu przypadkach długość fali λ jest znacznie mniejsza niż średnica reflektora D (odpowiednio λ/D = 0,17 i λ/D = 0,085). Kierunki fal pokazane na rys. 6 spełniają zasady optyki geometrycznej, a dyfrakcję fali na krawędzi reflektora można pominąć.
Ryc. 7
rysunek 7

Rys. 7 Wypadkowe ciśnienie akustyczne płaskiej fali akustycznej o częstotliwości a) f = 1000 Hz i b) f = 2000 Hz, padającej na półkulisty reflektor o promieniu R = 1 m i interferującej z falą odbitą tworzącą kaustykę. pi: amplituda fali padającej, α: współczynnik pochłaniania dźwięku reflektora. Cienkie czarne linie: ciśnienie akustyczne fali wypadkowej pres(t,θ) w chwilach czasu t = 0, T/8, 7 T/8, gdzie T = 1/f, przy α = 0,9. Linie zielona, czerwona i niebieska: amplituda modulacji ciśnienia akustycznego pres,Max(θ) odpowiednio przy α = 0,9, α = 0,6 i α = 0. Ze względu na symetrię pokazano zakres 0≤ θ≤Π/2. c,d: Wypadkowy poziom ciśnienia akustycznego SPLres(θ) fali padającej i interferującej z nią fali odbitej. SPLi: poziom ciśnienia akustycznego fali padającej.

Załóżmy, że natężenie padającej fali I o wynosi 10 –8 [W/m 2 ], co odpowiada ciśnieniu akustycznemu o amplitudzie 0,002 [Pa] i poziomie ciśnienia akustycznego SPLi  = 40dB re. 2 × 10 –5 [Pa] (Równania 35 , 36 ).

Wokół tych wartości oscylują wypadkowe ciśnienie akustyczne pres i odpowiadający mu poziom ciśnienia SPLres (równ. 30 i 37). Amplituda fluktuacji wzrasta wraz ze wzrostem stopnia koncentracji fali na kaustyce (rys. 7 a, b).

Na ostrzu kaustyki skoncentrowana energia fal odbitych znacznie przekracza energię fali pa dającej, co zmniejsza efekt fluktuacji (rys. 7 c, d). 
Efektem interferencji fal poza ogniskiem jest układ węzłów i strzałek. W rzeczywistych warunkach, jego regularność pokazana na rys. 7 jest zaburzona przez szerokopasmowy charakter  dźwięku oraz przez pole pogłosowe pomieszczenia. Na to nakłada się dyfrakcja fali padającej  o niskiej częstotliwości na krawędzi czaszy. W efekcie obecność kaustyki w pomieszczeniu  jest zwykle trudna do wykrycia słuchem, a słyszalny efekt skupienia dźwięku zostaje zredukowany do zwartego obszaru o podwyższonym ciśnieniu akustycznym. 
Rys. 7 pokazuje, pokazuje, jak dużego wzmocnienia dźwięku można oczekiwać przebywając  w okolicy ostrza kaustyki. Gdy na reflektor pada dźwięk o poziomie ciśnienia akustycznego  ok. 40 dB, co odpowiada np. cichej rozmowie (rys. 7 c, d). poziom dźwięku odczuwalny w  ognisku jest na tyle duży, że zjawisko to można wykorzystać do demonstracji akustycznych  lub do praktykowanego w czasach historycznych podsłuchiwania rozmów. Rys. 7 pokazuje,  że za wzrost poziomu dźwięku o ok. 45 dB i więcej, co można uznać za warunki panujące w  otoczeniu ogniska reflektora, odpowiada część czaszy o kącie rozwarcia zaledwie kilku stop ni. Jest to obliczeniową ilustracją konceptu LdV, pokazanego na rys. 2. Kąt rozwarcia czaszy  na oryginalnym rysunku LdV, z oczywistych względów nie wspartym obliczeniami, wynosi  ok. 10

Ilustracją spostrzeżenia LdV są terenowe instalacje spotykane w parkach edukacyjnych (Fig.  8a). Groty szeptów pokazane na Fig. 8b, poza demonstrowaniem efektu echa [10] służą także  jako element historycznej architektury parkowej i miejsce schronienia przed deszczem. Są  one większe niż tego wymaga demonstrowane zjawisko odbicia, dla zaistnienia którego wystarczy mały fragment w głębi czaszy.  

Ryc. 8
Cyfra 8

Rys. 8. Instalacje plenerowe postawione w celu zademonstrowania ciekawostek akustycznych. a) Współczesna instalacja plenerowa wykonana metodą druku 3D [15, 16, 17], fot.  dzięki uprzejmości M. Kladeftira. b) XVIII-wieczne groty szeptów w Parku Oliwskim,  Gdańsk, Polska [19, 14], fot. dzięki uprzejmości T. Struga.

Istnieje wiele obiektów architektonicznych, w których formuje się kaustykę w formie pokazanej na rysunkach LdV. Mowa tu przede wszystkim o zabytkowych wnętrzach o funkcji sakralnej i ceremonialnej, zawierających duże powierzchnie w formie kopuły (rys. 9). Kaustyka  w opisanej formie powstawała również w dziewiętnastowiecznych teatrach i salach koncertowych ze sklepieniami wklęsłymi, które były wówczas kanonem stylu neorenesansowego  (rys. l0) [12].

Ryc. 9
rysunek 9

Historyczne pomieszczenia, zawierające duże powierzchnie w kształcie kopuły. a) Hagia Sophia w Stambule, Turcja, zdjęcie dzięki uprzejmości Keep & Share, [18]. b) Kopuła na  Skale w Jeozolimie, Izrael, ©CC od 2.0 [ 30 ]

Ryc. 10
rysunek 10

Rys. 10. a) Aula Uniwersytetu Poznańskiego. Ta neorenesansowa budowla została wzniesiona  według projektu Edwarda Fürstenau w latach 1905-1910, fot. dzięki uprzejmości Poznań Film  Commission [19]. b) Przekroje poprzeczne kaustyki 3D zgodnie z przewidywaniami LdV  [12].

Kaustyka w polach elektromagnetycznych

Radioteleskop Arecibo w Puerto Rico (rys. 11) został oddany do użytku w 1963 roku i początkowo miał małą aperturę reflektora. Został znacznie ulepszony w 1997 roku przez zastosowanie systemu tzw. subreflektorów gregoriańskich, który koncentruje energię fragmentu kaustyki sąsiadującego z ostrzem w jednym ognisku punktowym (James Gregory, XVII wieczny szkocki matematyk i astronom). System ten składa się z dwóch reflektorów wtórnych, znajdujących się wewnątrz kopuły geodezyjnej, z których pierwszy to reflektor paraboliczny, a drugi to para reflektorów eliptycznych (rys. 12, 13) [20].
Ryc. 11
rysunek 11

Sferyczny radioteleskop w Arecibo, Puerto Rico, zdjęcie zrobione przed 01.12.2020 [ 22 ] Zdjęcie udostępnione przez Public Domain National Space Foundation Galeria Multimedialna. Poniżej: schemat teleskopu Arecibo [ 20 ]

Ryc. 12
rysunek 12
Rys. 12. Czasza reflektora Arecibo i tworząca się w nim kaustyka. Aktywna część reflektora i  kaustyki jest pokazana na czerwono. a),b),c): kierunki padania fali −20o , +20owzględem  zenitu. Szkic poglądowy na podstawie [20]. .
Ryc. 13
rysunek 13

Rys. 13. Bieg promieni padających na zwierciadła drugiego i trzeciego rzędu, tworzących  system optyki gregoriańskiej radioteleskopu Arecibo [23]. Oprócz energii zawartej w ogni sku, system subreflektorów wykorzystuje również energię skupioną na części kaustyki zazna czonej na czerwono. Pokazano parę elips tworzących reflektor trzeciorzędowy. 

Powiększona apertura radioteleskopu AArecibo wynosi ok. 30 000 m2, czyli ok.7% powierzchni  półkuli o promieniu RArecibo =265 m (równanie 38) [21].

W porównaniu z reflektorem z rysunku LdV o aperturze ok. 0,4% powierzchni półkuli (rys. 3,  równania 1 i 2), apertura reflektora radioteleskopu Arecibo jest 17 razy większa (0,068/0,004  = 17), tj. o 1 rząd wielkości. Wynika to z faktu, że według LdV energia skupiona przez reflektor zawarta jest w jego ognisku, podczas gdy radioteleskop Arecibo powiększa ją o energię  znacznej części kaustyki. 
Przed modernizacją teleskopu Arecibo odbiornik rejestrował falę odbitą skoncentrowaną w  ognisku oraz falę pochodzącą z kosmosu. Po doposażeniu teleskopu w subreflektory gregoriańskie, odbiornik ukryty wewnątrz kopuły geodezyjnej jest osłonięty zwierciadłem wtórnym  oraz samą kopułą geodezyjną (rys. 13) i nie rejestruje bezpośredniego sygnału z kosmosu. Jest  to jednak pomijalne, gdyż poziom sygnału skupionego w ognisku przekracza poziom sygnału  bezpośredniego o kilkadziesiąt dB (patrz rys. 5)
1 grudnia 2020 r. — tragiczny dzień dla środowiska naukowego — radioteleskop Arecibo  został zniszczony w wyniku zerwania kabli i upadku 900-tonowej platformy głównej na czaszę radioteleskopu.

Odbłyśnik paraboliczny

W 2016 roku, 53 lata po uruchomieniu radioteleskopu w Arecibo, w Dawodang (Chiny) od dano do użytku radioteleskop FAST (Five-hundred-meter Aperture Spherical Radio Telesco pe). Jego antena o średnicy 520 m jest przekrojem kuli o promieniu RFAST =300m (rys. 14).  Ważący 3 tony odbiornik, który porusza się po czaszy za pomocą systemu linek, umożliwia  obserwację źródeł radiowych zawartych w stożku o kącie rozwarcia 80 stopni. Radioteleskop  FAST jest urządzeniem odbiorczym, natomiast radioteleskop Arecibo był urządzeniem  nadawczo-odbiorczym [25].

Ryc. 14
rysunek 14
Rys. 14. Pięćsetmetrowa antena radioteleskopu FAST [24]. Zdjęcie za zgodą Springer Nature,  numer licencji 5315900703664. Poniżej: schemat teleskopu FAST [27]. 
Czasza radioteleskopu FAST składa się z 4500 ruchomych elementów, których położenie  można korygować w taki sposób, aby wybrana część sferycznego reflektora została przekształcona w segment paraboloidy (ryc. 15), tworzący okrąg o średnicy 300 m. Skorygowana część reflektora tworzy zatem aperturę o średnicy AFAST =300 m i głębokości DFAST =40,2 m  [26], co daje powierzchnię ok. 38.000 m2, czyli ok. 6,7% powierzchni półkuli (równania 39, 40). Pokazuje to inny kierunek rozwinięcia koncepcji LdV w stosunku do Arecibo. Polega on  na przekształcaniu krzywizny reflektora, podczas gdy w Arecibo zmiana dotyczyła wykorzystania energii na części kaustyki.
Ryc. 15
rysunek 15
Rys. 15. Jedno z testowanych rozwiązań, pokazujące przystosowanie wycinka zwierciadła  sferycznego radioteleskopu FAST do krzywizny paraboloidy [26
Obecna na rysunkach LdV kaustyka, znana też pod nazwą aberracji sferycznej, jest ograniczeniem w stosowaniu zwierciadła sferycznego. W przypadku zwierciadła parabolicznego  takim ograniczeniem jest aberracja komatyczna. Występuje ona, gdy obserwowany obiekt  znajduje się poza osią zwierciadła i polega na rozmyciu ogniska w pętlę kaustyczną o nazwie  koma (ryc. 16). W zwierciadle sferycznym aberracja jest nieusuwalnym elementem jego  funkcjonowania, natomiast w zwierciadle parabolicznym zanika całkowicie przy osiowym padaniu promieni. W radioteleskopie FAST po paraboloidalnym odkształceniu zwierciadła  aberracja komatyczna jest ograniczana przez osiowe ustawienie odbiornika z dokładnością do  kilku milimetrów, z odchyleniem od osi paraboloidy nieprzekraczającym 8 sekund kątowych  [27].
Ryc. 16
rysunek 16
Rys. 16. Przekrój zwierciadła parabolicznego z typowym zniekształceniem w postaci aberracji komatycznej. Gdy źródło znajduje się poza osią zwierciadła, ognisko przybiera postać  kaustyki, znanej jako koma [28]

Uwagi końcowe

W dorobku wielu wiodących dziedzin nauki odnaleźć można idee sprzed setek lat, często wywodzące się z obszarów niezwiązanych z daną dziedziną. W artykule pokazano obecność  konceptu skupiania światła przez zwierciadło sferyczne, sformułowanej przez Leonarda da  Vinci około 500 lat temu, w rozwoju pozornie odległych dziedzin nauki i techniki, jakimi są akustyka czy radioastronomia. 
Leonardo prowadził swoje badania teoretyczne za pomocą zwierciadła sferycznego. Pokazał,  że wystarczy mniej niż 0,5% powierzchni półsfery, aby skoncentrować energię pochodzącą z  nieskończenie odległego źródła, np. ze Słońca. Przy tym zastosowaniu zwierciadła pozostała czaszy jest bezużyteczna. Idea ta, oczywista z punktu widzenia współczesnej wiedzy, ale  sformułowana 500 lat temu, jest obecna do dziś w wielu dziedzinach techniki i nauki – apertura współczesnych zwierciadeł sferycznych jest tylko niewielką częścią półsfery. Ich funkcjonowanie w dziedzinie akustyki architektonicznej, w przyrządach optycznych, jako anteny  w radioteleskopach itp. jest w pełni zgodne z przewidywaniami LdV. 
Przy okazji badań nad zjawiskiem skupiania światła, LdV pokazał także sposób graficznego  wyznaczania powierzchni towarzyszącej ognisku , na której koncentrują się odbijane promie nie. Powierzchnia ta jest współcześnie znana pod nazwą kaustyki i jest obecna w wielu dziedzinach techniki i nauki. LdV nie rozwijał jednak myśli związanej z kaustyką, najwyraźniej  nie zdając sobie sprawy z wagi swojego odkrycia.  
We współczesnej wiedzy technicznej można spotkać oba wyżej wymienione elementy funkcjonowania zwierciadeł odkrytych przez LdV, czyli ogniska i kaustykę. W przykładzie pokazanym w artykule dodanie energii kaustyki do energii ogniska powoduje zwiększenie apertury  z przewidzianego przez LdV ok. 0,5% do ok. 5–7%. W podobnym zakresie zwiększa aperturę  lokalne dostosowanie powierzchni zwierciadła sferycznego do krzywizny paraboli. Apertura  zwierciadła określona przez LdV została zatem znacznie zwiększona w wyniku rozwoju technik odbiorczych. 
Techniczną realizacją opisanych usprawnień są 300-metrowy radioteleskop w Arecibo (Portoryko) oraz 500-metrowy radioteleskop FAST w Dawodang (Chiny). Doniesienia internetowe  informują o koncepcji budowy 1000-metrowego radioteleskopu, zlokalizowanego po ciemnej  stronie Księżyca z dala od ziemskiego smogu elektromagnetycznego, jednak ze względu na  wczesny etap realizacji tego pomysłu nie jest on omawiany w artykule [29]. 
Kaustyki widoczne na rysunkach LdV powstają również w polu akustycznym w pomieszczeniach. Zjawiska falowe występujące w pomieszczeniu, pogłos i szum tła utrudniają jednak  słyszalną identyfikację kaustyki. W rezultacie efekt ogniskowania dźwięku przez duże za krzywione powierzchnie w pomieszczeniach, np. sklepienia łukowe i wklęsłe ściany, zostaje  zredukowany do skupienia punktowego w ostrzu kaustyki, a pozostała część kaustyki staje się  pozornie nieobecna. Z tego powodu pojęcie kaustyki jest prawie nieznane w dziedzinie akustyki architektonicznej.
Dostępność danych i materiałów 
Nie dotyczy. 
Skróty 
LdV: Leonardo da Vinci 
FAST: Sferyczny radioteleskop o aperturze pięciuset metrów 
Bibliografia 
[1] http://www.unmuseum.org/burning_mirror.htm [29.09.2021]. 
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy [29.09.2021]. 
[3] Dominique Raynaud, The aerial perspective of Leonardo da Vinci and his origins in the  optics of Ibn al-haytham (de aspectibus, III, 7) Arabic Sciences and Philosophy 19  (2):225-246 (2009). 
[4] Ivanov V.P., Ivanova G.K., Caustic structure of the underwater sound channel. Open  Journal of Acoustics, 4, 26-37 (2014)  
http://file.scirp.org/pdf/OJA_2014032115460011.pdf [29.09.2021]. 
[5] Khatkevich A.G., Khatkevich L.A., Propagation of laser beams and caustics in crystals.  Journal of Applied Spectroscopy, 74, No. 4 (2007)  
https://link.springer.com/article/10.1007/s10812-007-0086-8 [29.09.2021]. 
[6] Skowron J., Analiza niestandardowych zjawisk mikrosoczewkowania grawitacyjnego  gwiazd Galaktyki. Rozprawa doktorska (Analysis of non-standard phenomena of gravita tional microlensing of Galactic stars. PhD dissertation, in Polish). Uniwersytet  Warszawski (2009) http://www.astrouw.edu.pl/~jskowron/PhD/thesis/phd.pdf [13.11.2021]. 
[7]http://www.bl.uk/turning-the-pages/?id=cb4c06b9-02f4-49af 
80ce540836464a46&type=book, p. 8–15 The Leonardo notebook, pp. 8–15 [29.09.2021]. 
[8] http://www.bl.uk/turning-the-pages/?id=cb4c06b9-02f4-49af 
80ce540836464a46&type=book,%20p.%208%E2%80%9314, Leonardo da Vinci’s Co dex Arundel, pp. 224–226, 414 [29.09.2021]. 
[9] http://www.bl.uk/onlinegallery/ttp/leonardo/accessible/pages11and12.html 
[10] Kulowski A., The caustic in the acoustics of historic interiors. Applied Acoustics 133,  82–90 (2018) https://doi.org/10.1016/j.apacoust.2017.12.008 [29.09.2021]. 
[11] https://www.bl.uk/onlinegallery/ttp/leonardo/accessible/pages13and14.html 
[12] Kulowski A., Analysis of a caustic formed by a spherical reflector: Impact of a caustic  on architectural acoustics, Applied Acoustics 165 (2020),  
https://doi.org/10.1016/j.apacoust.2020.107333 [29.09.2021].
[13] Burkhard D.G., Shealy D.L., Formula for the density of tangent rays over a caustic sur face.  
Applied Optics vol. 21, No. 18, 3299–06 (1982). 
[14] https://www.gedanopedia.pl/gdansk/?title=Plik:Park_Oliwski_Groty.jpg [16.08.2020]. [15] https://dbt.arch.ethz.ch/project/acoustic-mirrors/ [16.08.2020]. 
[16] Kladeftira M. et al., Design Strategies for a 3D Printed Acoustic Mirror. Proc. of the  24th CAADRIA Conference – Vol. 1, Victoria University of Wellington, Wellington,  New Zealand, 15–18 April 2019, pp. 123–132]. 
[17] Kladeftira M. et al., Printing whisper dishes. Large-scale binder jetting for outdoor in stallations. Proc. of the ACADIA 2018 Recalibration: On Imprecision and Infidelity,  Proc. of the 38th Annual Conference of the Association for Computer Aided Design in  Architecture, 328–35. Mexico City, Mexico, October 18-20, 2018. 
[18] https://www.thoughtco.com/great-domes-from-around-the-world-177717 [29.09.2021]. [19] http://poznanfilmcommission.pl/lokacja/aula-uam [21.09.2019]. 
[20] https://www.researchgate.net/figure/A-diagram-of-the-Arecibo 
telescope_fig1_2209614 [29.09.2021]. 
[21] Magnani L., The Arecibo 5GHz Mini-Gregorian Feed System; Spectral Line Perfor mance. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, Vol. 105, No. 690, pp.  894–901, August 1993. 
[22] https://www.space.com/38217-arecibo-observatory-puerto-rico-telescope-photos.html [29.09.2021]. 
[23] Cortés-Medellín G., AOPAF: Arecibo Observatory Phased Array Feed. Internet Publi cation by National Astronomy and Ionosphere Center Cornell University, Sep 13, 2010  https://www.naic.edu/~phil/hardware/byuPhasedAr/logs/Cortes%20AOPAF_short%20re port%20Sept%202010-1.pdf [29.09.2021]. 
[24] https://www.nature.com/articles/d41586-019-02790-3 [29.09.2021]. 
[25] Mathews J.D., (2013), “A short history of geophysical radar at Arecibo Observatory”,  History of Geo- and Space Sciences. Vol. 4(1), pp. 19–33. doi:10.5194/hgss-4-19- 2013.www.hist-geo-space-sci.net/4/19/2013/hgss-4-19-2013.pdf, doi:10.5194/hgss-4-19- 2013[29.09.2021]. 
[26] Nan R., Li D. et al., The Five-Hundred-Meter Aperture Spherical Radio Telescope (FAST) Project, International Journal of Modern Physics D, ©World Scientific Publish ing Company, Accepted for publication,  
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1105/1105.3794.pdf [29.09.2021]. 
[27] Williams II R.L., “Five-Hundred Meter Aperture Spherical Radio Telescope (FAST)  Cable-Suspended Robot Model and Comparison with the Arecibo Observatory”, Internet  Publication, www.ohio.edu/people/williar4/html/pdf/FAST.pdf, July 2015. [29.09.2021].
[28] Schmidt RF., Analytical caustic surfaces. NASA Technical Memorandum 87805. NASA Technical Reports Server; April 1987. https:/ ntrs.nasa.gov/archive/nasa/ casi.ntrs.nasa.gov/19880001678.pdf [29.09.2021].  
[29]  
https://www.nasa.gov/directorates/spacetech/niac/2020_Phase_I_Phase_II/lunar_crater_radi o_telescope/ [26.10.2021] 
[30] Wikimedia Commons. 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Al_Aqsa_(6888221391).jpg (cropped)  [31.05.2022] 
Podziękowanie 
Nie dotyczy 
Finansowani
Nie dotyczy. 
Informacje o autorze 
Andrzej Kulowski, Wydział Architektury Politechniki Gdańskiej, ul. Gabriela Narutowicza  11/12, 80-233, Gdańsk, Polska. 
Autor korespondujący 
Andrzej kulowski, e-mail: kulowski@pg.edu.pl 
Konkurujące interesy 
Autor oświadcza, że nie ma sprzecznych interesów. 
Uwaga wydawcy 
Springer Nature pozostaje neutralny w odniesieniu do roszczeń jurysdykcyjnych na opubli kowanych mapach i przynależności instytucjonalnej.

Prawa i uprawnienia

Otwarty dostęp Ten artykuł jest objęty licencją Creative Commons Attribution 4.0 International License, która zezwala na używanie, dzielenie się, adaptację, dystrybucję i powielanie na dowolnym nośniku lub w dowolnym formacie, pod warunkiem, że podasz odpowiednie oznaczenie oryginalnego autora (autorów) i źródła, podać link do licencji Creative Commons i wskazać, czy dokonano zmian. Obrazy lub inne materiały osób trzecich zawarte w tym artykule są objęte licencją Creative Commons, chyba że zaznaczono inaczej w informacji o autorze materiału. Jeśli materiał nie jest objęty licencją Creative Commons, a zamierzone użycie jest niezgodne z przepisami prawa lub wykracza poza dozwolone użycie, musisz uzyskać pozwolenie bezpośrednio od właściciela praw autorskich. Aby zobaczyć kopię tej licencji, odwiedźhttp://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.

Link do artykułu: https://heritagesciencejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40494-022-00713-6

Obraz wyróżniający: Arecibo radio telescope. Arecibo Observatory, Puerto Rico. Autorstwa Mariordo (Mario Roberto Durán Ortiz) – Praca własna, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=81590797